Quelles sont les formules d'aire des figures usuelles ?
Choisissez la figure et l'unité, puis tapez les mesures : l'aire s'affiche avec la formule, chaque étape du calcul et sa conversion dans les autres unités. Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
L'aire mesure la place occupée par une surface plane. Elle s'exprime dans une unité de longueur au carré : un carré de 1 cm de côté a une aire de 1 cm². Les formules ci-dessous couvrent les figures vues au collège ; chaque exemple reprend les mesures que l'outil propose par défaut pour la figure.
| Figure | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Carré | A = c × c | côté 4 cm : 16 cm² |
| Rectangle | A = L × l | 7,5 m × 4,2 m : 31,5 m² |
| Triangle | A = b × h ÷ 2 | 6 × 4 ÷ 2 : 12 cm² |
| Parallélogramme | A = b × h | 8 × 3,5 : 28 cm² |
| Trapèze | A = (B + b) × h ÷ 2 | (10 + 6) × 4 ÷ 2 : 32 cm² |
| Losange | A = D × d ÷ 2 | 8 × 5 ÷ 2 : 20 cm² |
| Disque | A = π × r² | r = 5 cm : 25π ≈ 78,54 cm² |
| Secteur | A = π × r² × angle ÷ 360 | r = 5 cm, 60° : 25π/6 ≈ 13,09 cm² |
Comment calculer l'aire d'un triangle, d'un trapèze ou d'un losange ?
Ces formules viennent toutes du rectangle. Un triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur, d'où le « ÷ 2 ». Un parallélogramme, découpé et recollé, devient un rectangle de longueur b et de largeur h. Un losange est la moitié du rectangle construit sur ses deux diagonales. Un trapèze, enfin, a la même aire qu'un rectangle dont la longueur serait la moyenne de ses deux bases et la largeur sa hauteur.
La hauteur est toujours une distance mesurée perpendiculairement à la base, jamais la longueur d'un côté oblique. Dans un triangle rectangle, en revanche, les deux côtés de l'angle droit jouent le rôle de base et de hauteur : avec 5 cm et 7 cm, l'aire vaut 5 × 7 ÷ 2 = 17,5 cm².
Exemple avec des décimaux : un trapèze de bases 12,5 m et 8 m, de hauteur 6 m. A = (12,5 + 8) × 6 ÷ 2 = 20,5 × 6 ÷ 2 = 123 ÷ 2 = 61,5 m². L'outil mène ce calcul en décimal exact, sans arrondi intermédiaire.
Comment calculer l'aire d'un cercle ?
On parle couramment de l'aire d'un cercle, mais c'est le disque, la surface intérieure, qui a une aire. La formule est A = π × r², où r est le rayon. Pour r = 5 cm, A = 25π cm², valeur exacte, soit environ 78,54 cm². Si l'énoncé impose π ≈ 3,14, on trouve 25 × 3,14 = 78,5 cm² ; l'outil donne les deux.
Quand on connaît le diamètre, on le divise d'abord par 2. C'est l'erreur la plus fréquente : un disque de 10 cm de diamètre a une aire d'environ 78,54 cm², alors qu'en mettant 10 à la place du rayon on obtiendrait π × 10² ≈ 314,16 cm², quatre fois trop.
Un secteur circulaire est une part de disque. Son aire est la fraction angle/360 de l'aire du disque. Une pizza de 30 cm de diamètre a un rayon de 15 cm et une aire de 225π ≈ 706,86 cm² ; une part de 45°, soit un huitième, mesure 225π/8 ≈ 88,36 cm².
Comment convertir des unités d'aire (m², cm², hectares) ?
Quand on passe d'une unité de longueur à la suivante, on multiplie ou on divise par 10. Pour les aires, c'est par 100, car la longueur et la largeur changent toutes les deux : 1 m = 100 cm, donc 1 m² = 100 × 100 = 10 000 cm². Ainsi 32 cm² = 0,0032 m².
Pour les terrains, on utilise l'are (a), qui vaut 100 m², et l'hectare (ha), qui vaut 100 ares, soit 10 000 m². Une surface de 61,5 m² fait donc 0,615 a ou 0,00615 ha. Un kilomètre carré contient 100 hectares.
| Unité | Équivalent en m² | Exemple |
|---|---|---|
| 1 mm² | 0,000001 m² | 1 cm² = 100 mm² |
| 1 cm² | 0,0001 m² | 1 dm² = 100 cm² |
| 1 dm² | 0,01 m² | 1 m² = 100 dm² |
| 1 m² | 1 m² | 1 m² = 10 000 cm² |
| 1 dam² = 1 are | 100 m² | 1 a = 100 m² |
| 1 hm² = 1 hectare | 10 000 m² | 1 ha = 100 a |
| 1 km² | 1 000 000 m² | 1 km² = 100 ha |
Quelles erreurs éviter dans un calcul d'aire ?
- Mélanger les unités : pour un rectangle de 2 m sur 50 cm, convertissez d'abord, 2 m × 0,5 m = 1 m².
- Prendre un côté oblique pour la hauteur d'un triangle, d'un parallélogramme ou d'un trapèze.
- Oublier de diviser par 2 pour le triangle, le losange et le trapèze.
- Confondre rayon et diamètre dans la formule du disque.
- Croire que 1 m² = 100 cm² : c'est 10 000 cm², car on multiplie par 100 deux fois de suite.
- Confondre aire et périmètre : un carré de 4 cm de côté a un périmètre de 16 cm et une aire de 16 cm². Même nombre, mais l'un est une longueur, l'autre une surface.
- Oublier le carré dans l'unité du résultat : une aire s'écrit en cm², m² ou km², jamais en cm ou en m.