Théorème de Pythagore

Que dit le théorème de Pythagore ?

Choisissez ce que vous cherchez, donnez le nom du triangle et ses longueurs : la rédaction s'écrit avec vos lettres, la valeur exacte et l'arrondi demandé. Le bouton de copie reprend toutes les lignes.

Le théorème s'énonce ainsi : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, son hypoténuse est [BC], le côté situé face à l'angle droit, et BC² = AB² + AC².

L'hypoténuse est toujours le plus long côté du triangle rectangle. Le théorème ne s'applique qu'à un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle : c'est une donnée de l'énoncé, un codage sur la figure ou un résultat démontré avant.

Comment calculer la longueur de l'hypoténuse ?

On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée. Avec AB = 5 cm et AC = 7 cm (l'exemple chargé dans l'outil) : BC² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74, donc BC = √74 cm. 74 n'étant le carré d'aucun nombre décimal, √74 est la valeur exacte, et BC ≈ 8,6 cm au dixième près.

Avec des décimaux, la méthode ne change pas : pour AB = 4,5 cm et AC = 6 cm, BC² = 20,25 + 36 = 56,25, et comme 7,5² = 56,25, on obtient exactement BC = 7,5 cm. Le résultat est toujours plus grand que chacun des deux côtés, mais plus petit que leur somme : un bon moyen de repérer une erreur de calcul.

Comment calculer un côté de l'angle droit ?

On part de la même égalité et on isole le côté cherché : si BC² = AB² + AC², alors AC² = BC² - AB². On soustrait donc le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse. Exemple : BC = 6,5 cm et AB = 2,5 cm donnent AC² = 42,25 - 6,25 = 36, donc AC = 6 cm.

Autre exemple, une hypoténuse de 10 cm et un côté de 7 cm : 100 - 49 = 51, donc le côté manquant mesure √51 ≈ 7,1 cm. Si le résultat de la soustraction est négatif ou nul, c'est que le côté donné comme hypoténuse n'est pas le plus long : l'outil le signale.

Un cas concret : une échelle de 5 m posée contre un mur, le pied à 1,5 m de celui-ci. Le mur et le sol forment l'angle droit, l'échelle est l'hypoténuse. La hauteur atteinte vaut √(5² - 1,5²) = √(25 - 2,25) = √22,75, soit environ 4,77 m.

Comment prouver qu'un triangle est rectangle avec la réciproque ?

La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs. On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle, et l'angle droit est le sommet opposé au plus grand côté. Pour AB = 6,5 cm, BC = 7,2 cm et AC = 9,7 cm : AC² = 94,09 et AB² + BC² = 42,25 + 51,84 = 94,09, donc ABC est rectangle en B.

Si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle (on utilise alors le théorème lui-même, sous sa forme contraposée). Avec 5 cm, 6 cm et 8 cm : 8² = 64 alors que 5² + 6² = 61. Comme 64 est plus grand, l'angle opposé au côté de 8 cm est même obtus. L'égalité doit être exacte : avec des longueurs mesurées et arrondies, un écart minuscule ne permet de conclure ni dans un sens ni dans l'autre.

Les triplets pythagoriciens sont des entiers qui vérifient l'égalité. Les connaître permet de repérer un triangle rectangle d'un coup d'œil, et leurs multiples fonctionnent aussi (6, 8, 10 est le double de 3, 4, 5).

Quelles erreurs éviter avec Pythagore ?

• Se tromper d'hypoténuse : c'est le côté face à l'angle droit, jamais un côté qui touche l'angle droit.
• Oublier les carrés : BC = AB + AC est faux. Avec 5 et 7, on obtiendrait 12 au lieu de 8,6 environ.
• Séparer la racine : √(25 + 49) n'est pas égal à √25 + √49. On additionne d'abord, on prend la racine ensuite.
• Arrondir trop tôt : gardez BC² exact jusqu'à la dernière ligne, puis arrondissez seulement le résultat final.
• Utiliser le théorème pour prouver qu'un triangle est rectangle : c'est le rôle de la réciproque.
• Mélanger les unités : convertissez toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.