Comment résoudre une équation du second degré ?
Saisissez les trois coefficients de ax² + bx + c = 0, avec 0 pour un terme absent et la virgule pour les décimaux. Tout le reste se met à jour à chaque frappe, étapes comprises.
Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0 avec a différent de 0. La méthode générale passe par le discriminant, noté Δ (delta) : Δ = b² - 4ac. Son signe indique combien l'équation a de solutions réelles, puis les formules donnent ces solutions. Avant tout calcul, il faut que l'équation soit écrite sous cette forme, avec 0 d'un côté : 3x² = 5x - 2 devient 3x² - 5x + 2 = 0, donc a = 3, b = -5 et c = 2.
Géométriquement, les solutions sont les abscisses des points où la parabole d'équation y = ax² + bx + c coupe l'axe des abscisses. C'est ce que montre le tracé sous les résultats.
| Signe de Δ | Solutions réelles | Formules | La parabole |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | deux | x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a) | coupe l'axe en deux points |
| Δ = 0 | une (double) | x₀ = -b / (2a) | touche l'axe en son sommet |
| Δ < 0 | aucune | deux solutions complexes conjuguées | ne coupe pas l'axe |
Comment calculer le discriminant et les solutions ?
Premier exemple, 2x² - 3x - 5 = 0 : a = 2, b = -3, c = -5. Δ = (-3)² - 4 × 2 × (-5) = 9 + 40 = 49. Δ est positif et √49 = 7, donc x₁ = (3 - 7) / 4 = -1 et x₂ = (3 + 7) / 4 = 10/4 = 5/2. Les solutions sont -1 et 5/2.
Deuxième exemple, celui chargé dans l'outil : 2x² - 4x - 8 = 0. Δ = 16 + 64 = 80. Ce n'est pas un carré parfait, on simplifie donc la racine en sortant le plus grand carré : √80 = √(16 × 5) = 4√5. Alors x = (4 ± 4√5) / 4, et en divisant tout par 4 : x₁ = 1 - √5 ≈ -1,236 et x₂ = 1 + √5 ≈ 3,236. Les valeurs exactes sont celles avec la racine ; les valeurs décimales ne sont que des arrondis.
Troisième exemple, x² - 6x + 9 = 0 : Δ = 36 - 36 = 0, et l'unique solution est x₀ = 6 / 2 = 3. On reconnaît d'ailleurs l'identité remarquable (x - 3)² = 0.
Pour vérifier, deux relations sont utiles quand Δ ≥ 0 : la somme des solutions vaut -b/a et leur produit c/a. Dans le premier exemple, -1 + 5/2 = 3/2 = -(-3)/2, et -1 × 5/2 = -5/2 = c/a.
Que faire quand le discriminant est négatif ?
Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle : il faudrait prendre la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui est impossible avec les nombres réels, puisqu'un carré n'est jamais négatif. La parabole reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses (si a > 0) ou entièrement en dessous (si a < 0). Dans un exercice qui travaille avec les réels, la réponse est donc : l'ensemble des solutions est vide.
Avec les nombres complexes, où l'on dispose d'un nombre i tel que i² = -1, l'équation a toujours deux solutions : z = (-b ± i√(-Δ)) / (2a). Pour x² + x + 1 = 0, Δ = 1 - 4 = -3, donc z₁ = (-1 - i√3) / 2 et z₂ = (-1 + i√3) / 2, soit environ -0,5 ± 0,866i. Ces deux solutions sont conjuguées : même partie réelle, parties imaginaires opposées. Les nombres complexes ne figurent pas au programme de tous les élèves : l'outil les affiche en complément, après la réponse dans les réels.
Une remarque qui fait gagner du temps : si a et c sont de signes contraires, -4ac est positif, donc Δ aussi. L'équation a alors forcément deux solutions réelles.
Comment trouver la forme canonique et le sommet de la parabole ?
Toute fonction f(x) = ax² + bx + c peut s'écrire sous forme canonique : f(x) = a(x - α)² + β, avec α = -b / (2a) et β = f(α) = -Δ / (4a). Le point S(α ; β) est le sommet de la parabole, et la droite verticale d'équation x = α est son axe de symétrie.
Pour 2x² - 3x - 5 : α = 3/4 et β = -49/8. La forme canonique est 2(x - 3/4)² - 49/8, et le sommet S(3/4 ; -49/8), soit S(0,75 ; -6,125). Comme a > 0, la parabole est tournée vers le haut et -49/8 est la plus petite valeur de f. Si a < 0, elle est tournée vers le bas et β est un maximum.
Quand Δ ≥ 0, on peut aussi factoriser : f(x) = a(x - x₁)(x - x₂). Ici, 2x² - 3x - 5 = 2(x + 1)(x - 5/2). L'outil donne cette forme quand les solutions sont rationnelles.
Quelles erreurs éviter avec une équation du second degré ?
- Oublier les parenthèses autour d'un b négatif : (-3)² vaut 9, alors que -3² tapé sans parenthèses sur une calculatrice donne -9.
- Se tromper de signe dans -4ac quand a ou c est négatif : avec a = 2 et c = -5, -4ac = +40.
- Diviser seulement √Δ par 2a : c'est tout le numérateur, -b ± √Δ, qui est divisé.
- Lire les coefficients avant d'avoir tout ramené d'un côté du signe égal.
- Utiliser Δ quand a = 0 : l'équation est alors du premier degré, et l'outil la résout comme telle.
- Sortir le discriminant pour une équation incomplète : x² - 2 = 0 donne directement x = √2 ou x = -√2, et 3x² - 6x = 0 se factorise en x(3x - 6) = 0, donc x = 0 ou x = 2.
- Arrondir √Δ trop tôt : gardez la racine exacte jusqu'au bout, puis arrondissez le résultat final.